HDMI überträgt auch - im Gegensatz zu DVI - Ton. Also astreinen Dolby Digital Sound!
Prinzipiell sind DVI und HDMI kompatible digitale Schnittstellen, mit dem Nachteil, dass DVI eben nur digitale Bildinformationen überträgt.
Ich selbst betreibe meine Xbox über VGA, da ich keinen HDMI Ausgang auf der Box besitze. Mein Laptop allerdings hängt per DVI-auf-HDMI Kabel an der HDMI Schnittstelle des HP w2207h.
Das funktioniert auch in der Gegenrichtung, also wie bei dir die HDMI Quelle der Xbox an dem DVI Eingang des Monitors. Den Sound müsstest du allerdings dann entweder über einen HDMI ausgestatteten Soundempfänger schleifen (also zuerst das HDMI Kabel an den Sound Receiver, dann zum Monitor weiter), oder per splitter box abgreifen und anderweitig verwenden.
Ich verwende das VGA Kabel der Xbox. Daran sind zwei Cinch Stecker für Stereo und eine Toslink Buchse für DD5.1 direkt am montrösen Stecker.