Also da ist einiges ziemlich konfus
Ich versuche das jetzt mal zu entwirren. Ich bin mir nicht ganz klar ob Du in Deinem Beitrag TV Karte mit Grafikkarte gleich setzt. Ist irgendwie ziemlich verwirrend.
Du hast 2 Möglichkeiten ein TV-Bild auf dem Monitor darzustellen.
1. Du nimmst eine interne TV Karte. Die funktioniert aber nur wenn der PC angeschaltet ist. Diese Karte hat keinen VGA Ausgang und wird zusätzlich zur Grafikkarte eingebaut! Das Bildsignal wird über die Grafikkarte ausgegeben. Du brauchst eigentlich überhaupt nichts zu machen, das Bild wird über eine Software, so wie bei einem DVD Player abgespielt. Diese Lösung ist sicherlich optimal, weil das TV Bild ganz normal auf dem digitalen Weg auf den Monitor kommt. Du brauchst also nur ein VGA Kabel von DVI an DVI.
Der Nachteil ist dabei allerdings, dass man nur TV sehen kann wenn der PC an ist und die Bilddarstellung benötigt auch einen einigermaßen aktuellen PC, damit es nicht ruckelt oder sonstige Probleme auftauchen.
2. Man nimmt eine TV Box. Hier wird das TV Signal unabhängig davon dargestellt, ob der PC nun an ist oder nicht. Allerdings haben die TV Boxen auch einen kleinen Nachteil. In der Regel wird das VGA Signal durch die Box durchgeschliffen. Dies ist insbesondere für TV Boxen wichtig, die eine Bild in Bild Funktion haben. Denn wenn das TV Bild nicht durchgeschliffen wird, funktioniert die Bild in Bild Funktion nicht. Diese Funktion ist aber soweiso nur im PC Betrieb möglich. Hier kann das TV Bild dann unter Windows eingeblendet werden. Eine Box wo ein digitales Signal durchgeschliffen wird, ist mir leider nicht bekannt. Sowas suche ich selber 
Wenn allerdings die Bild in Bild Funktion nicht benötigt wird, dann kann man den PC digital mit dem Monitor verbinden und die TV Box analog. Um TV zu sehen schaltet man auf den analogen Eingang und wenn man am PC arbeiten will eben auf den digitalen.
Wenn der PC nun nicht an ist, dann stellt sich natürlich die Frage wo der Ton her kommt. In diesem Fall muss entweder die Box eingebaute Lautsprecher haben oder eben der Monitor. Ich denke ein Monitor mit Lautsprechern dürfte die geeignetste Lösung sein.
Jetzt kommt es eben auf die Anschlüsse der Box an. Hier musst Du selber sehen wie Du dies anschließt. Wenn Du das Tonsignal statt an die Soundkarte an den Monitor anschließt, sollte es kein Problem darstellen. Du könntest sicherlich auch die Chinch Ausgänge mit einem T Adapter an den Monitor anschließen. Dabei Musst Du dann aber bedenken, dass Du den Ausgang der Soundkarte natürlich nicht mehr mit dem Monitor verbinden kannst. Vielleicht gibt es auch irgendwelche Kabel die dies ermöglichen, aber davon habe ich jetzt keine Kenntnis. Falls sowieso separate Boxen für den PC eingesetzt werden, dann wäre dies auch egal.
Ich hoffe es ist jetzt einigermaßen verständlich rübergekommen.